MEDIDAS DE DISPERSIÓN (EL RANGO)

Esta medida de dispersión no es desconocida para nosotros, pues ya hemos trabajado con la noción del valor mayor y menor de un conjunto de datos. Es conveniente definir el rango como tal:

El rango o amplitud es una medida de dispersión que se define como la diferencia entre el dato mayor y menor valor en un conjunto de datos.

Debido a que el Rango se calcula a partir de dos valores, esta medida de dispersión no nos aporta muchos elementos para determinar si los datos que se encuentren en ese intervalo tienen mucha o po0ca variabilidad; es más, el rango en determinado momento puede depender de la inclusión de más valores al conjunto de datos.

Para comprender la utilidad del rango, analizaremos la siguiente situación

Ejemplo:

Matilda quien es ahorrativa, registró sus datos escolares durante un mes, se encontraba de la siguiente manera:

Analizando estos datos, nos damos cuenta que el valor mínimo es 16 y el valor máximo es 25. Por tanto, los demás valores se encuentran distribuidos en ese intervalo.

Por lo tanto 9 es el valor del rango del conjunto de datos del ahorro de Matilda.

DESVIACION MEDIA

Brevemente, hacemos un recordatorio del significado del valor absoluto:

VALOR ABSOLUTO

La definición de un valor absoluto surge de la idea de la distancia, en unidades de un punto al origen, consecuentemente el valor absoluto debe ser positivo.


Ejemplos:

CALCULO DE LA DESVIACION MEDIA

La desviación media tiene su origen en las unidades que separan a los datos de la media aritmética, su definición formal es la siguiente:

La desviación media es una medida de dispersión de los datos respecto de la media aritmética.

Para calcular la desviación media de un conjunto de datos aplicamos la siguiente fórmula:

En base al manejo de fórmulas que se ha estado desarrollando, se considera claro cada uno de los elementos de la ecuación.

Retomando el ejemplo visto anteriormente de Matilda:

Ejemplo:

La tabla de datos ordenados es la siguiente:

El valor de la media aritmética de este conjunto de datos es el siguiente:


Después de sustituir los valores respectivos y realizar la operación, el valor de la media es:

Para hacer el cálculo de la desviación media, se construye la siguiente tabla auxiliar:

Retomando la fórmula de la desviación media y calculando los valores:

Como habrás notado, aún con pocos datos, el cálculo de la desviación media no resulta del todo sencilla y el cálculo se vuelve más laborioso en cuanto más crece el número de datos.

LA VARIANZA

La desviación media utiliza el valor absoluto para eliminar las cantidades negativas que resultan al compararlas con la media aritmética; otra forma de hacer esta eliminación de signo es utilizando la potenciación, en específico a la potencia dos o comúnmente dicho, elevar al cuadrado. En esta alternativa, la utiliza la varianza.

La varianza es una medida de dispersión equivalente al promedio de las desviaciones cuadráticas de los datos respecto de la media aritmética.

CALCULO DE LA VARIANZA PARA DATOS SIN AGRUPAR

Para calcular la varianza de un conjunto de datos no agrupados se utiliza la fórmula:

Lo que es equivalente a:

Un grupo de amigos registra su consumo mensual de crédito en su celular, con la finalidad de incluirse en un plan tarifario. Los datos registrados son los siguientes:


Puesto que el plan tarifario lo compartirían por partes iguales es necesario saber la desviación estándar del grupo.

En este caso, se aplicará la primera fórmula; para este procedimiento, se hará uso de una tabla auxiliar. En primer lugar se ordenan los datos y se agregan las columnas auxiliares para elaborar la tabla:

En segundo lugar, se calcula el valor de la media, utilizando la fórmula:


En la tabla se ha calculado ya el valor de la sumatoria, por tanto, sólo resta hacer las sustituciones correspondientes.

Se realiza el cálculo de las columnas correspondientes:

LA DESVIACION TIPICA

A la desviación típica se la conoce también como desviación estándar, y mide el grado en que los datos se encuentran dispersos en relación a la media aritmética.+

La desviación típica o desviación estándar es equivalente a la raíz cuadrada del valor obtenido de la varianza.
La fórmula para calcular la varianza es la siguiente:

De igual forma, se puede calcular a partir de la fórmula alternativa:


Para el ejemplo del gasto mensual en telefonía celular, los datos tienen la siguiente varianza:

No se realiza el cálculo para la segunda fórmula, pues obviamente obtendremos el mismo resultado.