RECTA DE REGRESIÓN DE y SOBRE x.

En este nivel, se analizará solamente el caso particular de una variable dependiente, lo que equivale al estudio de la regresión lineal simple. Cuando existe una relación entre dos variables, una de éstas será llamada dependiente (y) y otra será la predictora o independiente (x), en este sentido y será una relación lineal de x que se puede expresar como la ecuación de una línea y = ax + b.

De la expresión y = ax + b, podemos estimar el valor de las constantes a y b, entonces, por simple sustitución será posible encontrar el valor de y a partir de la asignación de valores a x. La obtención de los valores de a y b.

Sin abundar demasiado en este concepto, el método de mínimos cuadrados tiene como idea producir estimaciones que minimicen la suma de cuadrados de las distancias entre los valores observados y los estimados, lo cual quiere decir que se minimice la suma de los cuadrados de las longitudes de los segmentos de las líneas verticales que unen los datos observados con la recta estimada en la gráfica de dispersión, tal como se muestra a continuación:

La obtención de los valores para a y b, en términos de la varianza y covarianza del conjunto de datos, son los siguientes:


De tal forma que la ecuación de la recta y = ax + b, se puede escribir de la forma:

O en su forma equivalente:


Donde:

Como es de observarse la ecuación

es de la forma punto – pendiente de la recta, en este caso, el valor de la pendiente está dado por:

a este valor se le conoce como coeficiente de regresión de y sobre x, y que, como recordarás en Geometría, representa la tangente del ángulo que forma la recta de regresión de y sobre x con la parte positiva del eje de las abscisas.

El signo del coeficiente de regresión de y sobre x, depende del signo de la covarianza:


Finalmente, para determinar el valor de y, solamente hay que sustituir el valor de x en la ecuación resultante; es decir, en la ecuación

en donde es importante que exista un coeficiente de relación c, aproximadamente igual a 1.